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卡尔曼滤波算法原理_卡尔曼框架理论

2024-07-08 22:52 来源:网络

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卡尔曼滤波算法原理?

首先,我们介绍一个受离散控制的动态系统,其行为可由线性随机差分方程来刻画:

\[ X(k) = AX(k-1) + BU(k) + W(k) \]

此外,系统通过以下方程提供测量数据:

\[ Z(k) = HX(k) + V(k) \]

在这里,\(X(k)\)代表系统在时间点k的状态,\(U(k)\)为同一时间点的控制输入;A和B作为系统参数,在多模型情况下体现为矩阵。\(Z(k)\)表示测量值,其参数化由H决定,多测量系统中H亦为矩阵。噪声项\(W(k)\)和\(V(k)\)代表过程与测量噪声,假定它们遵循零均值的高斯白噪声分布,其协方差分别为Q和R,且不随系统状态变化。

针对这类线性系统,伴有高斯白噪声的情况,卡尔曼滤波器作为一种最优信息处理方法脱颖而出。它结合噪声的协方差,旨在估计系统的最优状态,如之前温度案例所示。

开始时,依据系统过程模型预测下一状态。假设当前状态为k,基于上一状态的已知信息进行预测:

\[ X(k|k-1) = AX(k-1|k-1) + BU(k) \]

这里,\(X(k|k-1)\)是基于过去信息对当前状态的预测,而\(X(k-1|k-1)\)是上一状态的最佳估计。在没有外部控制时,\(U(k)\)可设为零。

预测后,需更新预测状态的协方差矩阵P:

\[ P(k|k-1) = APA^T + Q \]

其中\(P(k|k-1)\)对应预测状态的协方差,\(A^T\)为A的转置,Q为过程噪声的协方差。

接下来,结合实际测量值\(Z(k)\),通过卡尔曼增益\(Kg(k)\)调整预测,获得更精确的估计:

\[ X(k|k) = X(k|k-1) + Kg(k)[Z(k) - HX(k|k-1)] \]

卡尔曼增益由下式计算:

\[ Kg(k) = \frac{P(k|k-1)H^T}{HP(k|k-1)H^T + R} \]

最终,更新当前状态的协方差以维持滤波器的连续运行:

\[ P(k|k) = (I - Kg(k)H)P(k|k-1) \]

其中I为单位矩阵,确保算法能够递归执行,适应系统状态的持续变化。

卡尔曼滤波器的核心逻辑及五个关键公式(1至5)至此阐述完毕。这些公式构成了算法的基础,便于编程实现,从而高效处理复杂系统的状态估计问题。

卡尔曼框架理论?

卡尔曼滤波的理论基础建立在全概率定理和贝叶斯定理之上,它处理预测与观测时的不确定性,这些不确定性被认为遵循正态分布,并且在预测与更新阶段采用不同的统计处理方式。具体来说:

预测阶段遵循全概率原理,表现为概率分布的叠加,相当于将当前状态的概率分布与预测模型导致的分布变化相加,形成新的分布状态。

而观测更新阶段则依据贝叶斯定理,通过概率分布的乘积来融合新信息,这意呀着传感器数据与预测状态的分布结合,产生更精确的位置估计。

以一辆小车的简单模型说明,初始位置虽然理论上为某点x,但实际呈高斯分布,具有一定的方差σ2。在经历一段同样受正态分布误差影响的移动后,其位置的预测分布会根据全概率法则,即均值相加、方差相加以更新,结果是分布的不确定性增加。

另一方面,当通过传感器获取小车位置信息时,这一过程利用贝叶斯法则,将原先的不确定性分布与传感器提供的高斯分布信息相乘,得到的结果是一个方差减小、位置中心更加确定的新分布。

综上所述,小车在仅经历移动预测时,因不确定性累积,其位置估计变得更为分散;而在通过传感器校准后,得益于观测信息的融入,位置估计变得更加集中,准确性提高。这体现了卡尔曼滤波在处理动态系统不确定性中的核心思想。

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