圆周率是怎么算出来的,人们是怎么发现π的呢？

人们是怎么发现的呢？我们又是怎么知道近似于3.14...的呢？

《物理学家》杂志于2018年8月24日发表了《遗憾的是的使用时间比历史记载时间还早，这个问题没有人能解决》。 但根据历史记载，最初使用时并不那么复杂，所以可以大胆推测。

已知是圆的周长和直径之比。 所有与圆相关的内容都可以与有关。

测量任意圆的周长和直径，除以两个数即可得到。

所有固定形的直径都与其周长成正比，但这并不是什么特别的事情。 这个假说可以适用于任意形状。 如果将任意图元放大两倍，直径和周长将增加两倍，并且它们的比例不会改变。

正方形的周长除以边的长度，总是4。

圆的周长与其直径的比率是一定值，但人们认为它比历史记录还早。 但是，不完全等于3的数值必须不断准确。 要计算出具有这个无限不循环特征(以3.14159265358979323846264 .开始)的数值，还需要一些数学和时间。

约4000年前，古巴比伦的石碑上记载着=3。 但是，这个数值似乎不那么准确。

只要固定一根绳子的一端，在另一端绑上鹅肝或木炭，就可以画出几乎完美的圆。 使用更长的绳子(至少必须是前一根绳子的2倍)和尺子，可以测量绘制的圆的周长。 如果你注意的话，你会发现很明显3。 如果测量误差小于4%，则可知其差。 古巴比伦人写了《汉谟拉比法典》，建造了许多惊人的建筑物。 由此可见，他们可能有以厘米为测量刻度的米尺。 经证实，上述石碑很可能是记录了圆近似值大致区间的“备忘录”。 古巴比伦人已经给出了25/8=3.125，我们知道这个近似值的误差在0.5%以内。 得出这个值对青铜时代的人们来说，已经是很棒的事情了。

只要你有关于圆的数学内容，随时会出现在你眼前。 因此，古代的人们有上千万次发现的存在的机会，我们不知道是哪个偶然的机会让人们真正发现了。 这是比历史记录更早的研究中发现的缺点。 例如，如果有一个高度为h且直径为d的桶，则容量为

所有证据都表明，尽管充满了数学的神秘色彩，但它是真实的数值。 这是你可以可靠测量的数据。 无论如何，那不等于3。 圆越大，的值计算越准确，但其有用性越来越小，变得无聊。 就好像要坚持吃一个星期的寿司自助餐一样，吃多了怎么也吃腻了。

如果将精确到小数点后无限位，可以估计圆的周长与其直径之比约为1:10N。 例如，如果知道3.14，就可以把自行车轮胎安装在轮辋1厘米以内的范围内。 如果知道3.1415，就可以计算一英亩圆形田地外所需的围栏长度。 当然，如果知道3.1415926535的话，电缆就可以绕地球一周而不浪费1厘米的电缆。 将精确到小数点后10位可以说是没有意义的，但这并没有阻止数学家进行严格的运算。 一次也没有。

定义不仅为我们提供了实际的测量方法，还提供了数百种数学方法，这个过程是数学的精妙之处。 像阿基米德和刘纹章这样的数学家，以及距离他们几千年的不知名古埃及人，都用切割法来得到的近似值。 刘纹章将精确到小数点后四位。 这比他大约一千年前阿基米德给出的近似值更准确。 真奇怪啊。

在罗马对锡拉丘兹的围攻中，马塞勒斯将军认为知识没有国界，下令活捉阿基米德。 很遗憾，直到最后，阿基米德都没有把几何学原理告诉罗马人。

是阿基米德和历史学家犯了错误，或者古希腊人比我们更了解准确的近似值？ 对于给定的圆，"内接正多边形"是指其各顶点与圆相接，"外接正多边形"是指其各边与圆相接。 阿基米德通过用在圆内相接和在圆外相接的正九十六边形计算圆的周长得到的近似值。 要确定的值，可以根据内切正多边形求出下限，根据外切正多边形求出上限。 但问题是，阿基米德不仅找到了正九十六边形的周长，而且发明了一种迭代算法，可以根据已经给定的n个角图形的周长计算2n个边图形的周长。 也就是说，他从正六角形(六角形)开始，被引导到12角、24角、48角。 令人费解的是，最后他导出96角后，就不再继续下去了。 很明显，他有比计算更多位数的更重要的事情。 怪不得这不是很准确的数值。 但是，他可能会声称问题已经解决了。 因为，如果每个人都按照他的步骤操作，就会想要的位数。 而且，可以继续投资热线等研究(实际上，当时的有钱人甚至想制作太阳热线来保护叙拉古)。

每次使用阿基米德迭代算法时，得到的的近似值的精度提高约4倍(其收敛速度为1/4 )。 但实际上，这听起来并不那么激动人心。 因为每重复5次，就会出现小数点以下约3的数字。 从六角形到96边形的阿基米整整计算了四次，最后把准确计算到小数点后三位。 如果他再费点力气，重新计算这个过程(例如，再重复10次)，他就会把精确到小数点后9位。 虽然这没什么用，但我觉得值得到处炫耀。

与通过现代计算方法得到的准确值相比，这些前辈得到的近似值不再让人感到自豪。 使用阿基米德技术的线性收敛可以得到的准确值()每次使用该算法时，得到的位数大致相同)。 自从我们发明了二阶收敛算法，事情的发展就真正进入了正题，二阶迭代算法将已知的位数加倍。 也就是说，如果将精确到10位，则在下一次迭代后得到的20位。 今天最快的算法非常有规律地收敛。 (每个计算都是上一个计算结果的准确9倍。)。

被定义为圆周的长度与圆的直径之比。 这样可以直接准确测量或准确计算圆，但没有意义。 还有更抽象的属性。 例如，可以避免无限循环。 (事实是确实的。 )或其他可能的)形式。 )，但这些抽象属性需要的不仅仅是直接粗暴的数值计算。 要得到这些更抽象的属性，必须立足于的定义而不是其数值的多寡。 如果忽视一个数字，我们可能会得出结果，但可能很容易被推翻。 在物质世界里数学确实有用，但数学并不是“原来住在这里”。 有物理意义，但我们主要根据其数学特性来了解它。

答案很简单。 古人很聪明，如果他们能长生不老，他们可能会一直计算下去，直到计算出来才知道。 这就是阿基米德算法所包含的数学基础。 老实说，这不是阿基米德的计算方式。 很明显，古希腊数学家受到了一种错误理念的影响，即小词包含着大神秘的机器。 因此，即使重新翻译后，他们的译文也像希腊语一样难以理解。

梅德斯老师的方法如下。 如果In是内接正多边形的周长，而Cn是外部n边的周长，则：

既可以用九牛二虎之力，用更多的方程计算，证明随着图形边数的增加，该图形的周长无线逼近(圆的周长)，也可以直接作画说“看……这是真的”。

首先用虚线画圆。 有内接和外接的n角(蓝)和2n角(红)的正多边形。 正多边形的每个段的长度是总周长除以段数。 因此，等于所有段除以n。

把六个正三角形粘在一起，就得到了带有一点三角形的正六角形。 假设圆的直径为1，则可知内接正六边形的周长为I6=，外接正六边形的周长为C6=233.46。

要计算正十二边形的周长，请将C6和I6插入迭代方程中。

可以看出，该周长比迭代前的任何结果都更接近，由于所有n的I_n \ pi C_n，的范围越来越小。 以下是其运算原理：

绘制与圆内接或外接的正多边形会形成某种对称性。 因此，通过绘制三角形，可以迅速找到它们的角度。

即计算内接正多边形的一边或外接正多边形的一角。 内接正多边形中的边长可以由2n边的正多边形导出。 红色阴影的三角形都很相似。 因为都有同样的角度。 蓝色三角形也很相似。

因为完整的圆是360，所以正多边形的每一边扩展到360/n度。 那么a是这些角度的一半，所以a=/n。

三角形内角之和为180，两b之和与a互补，b之和为90，第三角度为90，以%%直径为斜边的圆内接三角形的对角为90。 因此b=-180 /n。

因为c和b是互补的，所以c= a=/n。

c d=，因此d=-c=-180/n。

三角形中的角度之和为180，因此d e e=，e=-d/= /n。

最后，由于b e f=，所以f=-b-e=/n。

f=e，所以两个红色三角形的角度相等。 它们是“相似的三角形”。 同样，因为c=a，所以两个蓝色三角形的角度相等且相似。 如果两个三角形相似，那条边的比率是相同的。

关于边的长度，计算如下。

利用蓝色三角形的相似之处，可以推导出以下内容：

当然，红色三角形的计算过程如下。

于是，我们从已知的几何形状和的定义开始，找到一种计算方法，通过花很多时间运算就可以求出无限接近的数。

乘法和长除法比较简单，可以手动计算。 对古人来说，迭代算法中最难的部分是平方根和计算所需的稿纸。 幸运的是，古人也有一些技巧。 例如，要取s的平方根，假定一个x进行计算就可以了

然后你会得到比你最初的推测x更接近的东西

的结果。 这个方法是古巴比伦人和阿基米德人熟知的(实际上是“巴比伦方法”)，通过二次收敛，几乎可以立即得到你想要的任何(合理的)精度。

所以重点是，通过运用理性思维，可以花很多时间继续运算，最后找到所需的位数。

作者： The Physicist

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